La divisibilité : les multiples et les diviseurs
Les multiples sont liés aux tables de multiplication et les diviseurs sont liés à la division euclidienne. Des critères de divisibilité permettent de savoir quels sont les diviseurs d'un nombre.
Les multiples
Les multiples d'un entier a sont les nombres apparaissant dans la table de multiplication du nombre a.
Multiple d'un entier
Soient a et b deux entiers.
On dit que « a est un multiple de b » si b divise a.
6 est un multiple de 3, car 3 est un diviseur de 6.
Par exemple, les multiples de 7 sont : 0, 7, 14, 21, 28, 35, etc.
Les diviseurs
Un entier b est un diviseur d'un entier a si la division de a par b tombe juste. Il est possible de déterminer certains diviseurs d'un nombre.
Définition du diviseur d'un entier
Les diviseurs de a sont les entiers naturels qui, lorsqu'ils divisent a, donnent un reste nul.
Diviseur d'un entier
Soient a et b deux entiers.
Le nombre b est un diviseur de a signifie que la division de a par b tombe « juste », autrement dit que le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
On dit aussi que « a est divisible par b ».
3 est un diviseur de 6, car la division euclidienne de 6 par 3 est :
6 = 3 \times 2+0
Si b est un diviseur de a, la division euclidienne de a par b est du type a = bq, où q est le quotient de la division de a par b.
8 est un diviseur de 24 car 24=8\times3.
Les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10
Les critères de divisibilité permettent de connaître les diviseurs d'un nombre et donc de savoir de quels nombres il est le multiple.
Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Les nombres 14, 18, 26 et 30 se terminent par un nombre pair, ils sont donc divisibles par 2.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
On considère le nombre 711.
La somme de ses chiffres vaut 7+1+1=9, qui est divisible par 3.
Le nombre 711 est donc divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est divisible par 4.
On considère le nombre 1 216.
Le nombre formé par le chiffre des dizaines et celui des unités est 16, qui est divisible par 4.
Le nombre 1 216 est donc un multiple de 4.
Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Les nombres 140 et 175 sont divisibles par 5 car leur chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
On considère le nombre 171.
La somme de ses chiffres vaut 1+7+1=9, qui est divisible par 9.
Le nombre 171 est donc divisible par 9.
Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Les nombres 1 200 et 1 840 sont divisibles par 10 car leur chiffre des unités est 0.
Les nombres premiers
Un nombre premier est un nombre qui n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. Il est possible de déterminer si un nombre est premier ou non.
Définition d'un nombre premier
Un nombre premier n'a que deux diviseurs : lui-même et 1.
Nombre premier
Un nombre premier est un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
- 3 est un nombre premier car c'est un entier positif qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.
- 6 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2, 3 et 6.
Le nombre 1 n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur positif : 1, qui est également lui-même.
Il existe une infinité de nombres premiers.
Les premiers nombres premiers sont : 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23.
La détermination d'un nombre premier
Pour montrer qu'un nombre est premier, il faut montrer que ce nombre n'est divisible par aucun nombre égal ou inférieur à sa racine carrée.
Soit N un entier supérieur ou égal à 2.
Pour montrer que N est un nombre premier, il suffit de montrer que N n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à \sqrt{N}.
On cherche à montrer que 47 est un nombre premier.
On calcule :
\sqrt{47}\approx6{,}9
Les nombres premiers inférieurs à \sqrt{47} sont donc 2, 3 et 5.
Or, on sait que :
- 47 n'est pas divisible par 2.
- 4+7=11, qui n'est pas un multiple de 3, donc 47 n'est pas divisible par 3.
- 47 n'est pas divisible par 5.
Le nombre 47 est donc un nombre premier.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
On peut déterminer la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à n en appliquant le procédé suivant :
- On range les nombres dans l'ordre croissant.
- On raye les nombres de cette liste qui sont divisibles par 2.
- On passe au premier nombre non rayé strictement supérieur à 2 et on raye tous les nombres non déjà rayés qui sont divisibles par ce nombre.
- On poursuit le procédé en passant au nombre non rayé suivant jusqu'à atteindre \sqrt{n}.
Le procédé utilisé est appelé « le crible d'Ératosthène ».
On cherche les nombres premiers inférieurs ou égaux à 144.
Les 34 nombres premiers inférieurs à 144 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137 et 139.
La décomposition d'un nombre entier
On peut toujours décomposer un entier en un produit de facteurs premiers. Il n'y a qu'une seule façon d'écrire un entier naturel comme le produit de nombres premiers.
Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose de façon unique (à l'ordre près) en un produit de facteurs premiers.
Une décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 45 est :
45 = 5 \times 3^{2}
Une autre décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 45 est :
45=3^2\times 5
En général, on écrit la décomposition dans l'ordre croissant des facteurs premiers, mais ce n'est pas une obligation.
La décomposition en facteurs premiers de 120 dans l'ordre croissant des facteurs premiers est :
120=2^3\times 3\times 5
Les calculatrices de type « collège » ont en général une touche permettant d'obtenir une décomposition en facteurs premiers d'un entier donné.
On cherche à décomposer 120 en un produit de facteurs premiers. La procédure sur les calculatrices des marques Casio et Texas Instruments est représentée sur le schéma suivant :
La décomposition et la simplification d'une fraction
Grâce à la décomposition des entiers en produit de facteurs premiers, on peut simplifier une fraction, c'est-à-dire la remplacer par une fraction égale ayant un numérateur et un dénominateur strictement inférieurs à ceux de la fraction d'origine.
Simplifier une fraction
Soit \dfrac{a}{b} une fraction.
Simplifier la fraction signifie la remplacer par une autre fraction vérifiant que :
- La nouvelle fraction est égale à \dfrac{a}{b}.
- Le numérateur de la nouvelle fraction est strictement inférieur à a.
- Le dénominateur de la nouvelle fraction est strictement inférieur à b.
On peut simplifier la fraction \dfrac{120}{150}.
En effet, la fraction \dfrac{12}{15} est une fraction égale à \dfrac{120}{150} car \dfrac{12}{15}=\dfrac{12\times 10}{15\times 10}=\dfrac{120}{150}.
De plus, 12<120 et 15<150.
Pour simplifier une fraction \dfrac{a}{b}, on procède comme suit :
- On trouve un diviseur commun à a et b autre que 1, s'il en existe.
- On divise a et b par ce diviseur commun.
La nouvelle fraction obtenue est une simplification de la fraction \dfrac{a}{b}.
On reprend l'exemple précédent avec la fraction \dfrac{120}{150}.
Les deux nombres 120 et 150 admettent 10 comme diviseur.
10 est donc un diviseur commun à 120 et 150.
On peut donc simplifier la fraction \dfrac{120}{150} par 10 :
\dfrac{120}{150}=\dfrac{120\div 10}{150\div 10}
\dfrac{120}{150}=\dfrac{12}{15}
La fraction \dfrac{12}{15} est une simplification de la fraction \dfrac{120}{150}.
On considère une fraction \dfrac{a}{b}.
La décomposition en facteurs premiers des nombres a et b permet de simplifier rapidement la fraction \dfrac{a}{b}.
On reprend l'exemple précédent avec la fraction \dfrac{120}{150}.
Une décomposition en produit de facteurs premiers de 120 est :
2^3\times 3\times 5
Une décomposition en produit de facteurs premiers de 150 est :
2\times 3\times 5^2
On voit apparaître des facteurs communs aux deux décompositions : 2, 3 et 5.
On peut donc simplifier la fraction \dfrac{120}{150} par 2, par 3, par 5, par 2\times 3, par 2\times 5, par 3\times 5 et par 2\times 3\times 5.
Les fractions irréductibles
Lorsqu'on ne peut plus simplifier une fraction, on dit qu'elle est « irréductible ». Cela signifie que son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre facteur commun que 1.
Fraction irréductible
Soient a et b deux entiers avec b\neq0.
On dit que « la fraction \dfrac{a}{b} est irréductible » lorsqu'on ne peut plus la simplifier.
La fraction \dfrac{15}{28} est irréductible car 15 et 28 n'ont pas de diviseur commun autre que 1.
On ne peut pas simplifier la fraction \dfrac{15}{28}.
C'est donc une fraction irréductible.
On considère deux entiers positifs a et b.
Le plus grand diviseur commun à deux entiers a et b a pour décomposition en facteurs premiers le produit des facteurs premiers communs aux décompositions des nombres a et b avec la plus grande puissance commune aux deux décompositions.
On considère les entiers 280 et 308.
Une décomposition en produit de facteurs premiers de 280 est :
2^3\times 5\times 7
Une décomposition en produit de facteurs premiers de 308 est :
2^2\times 7\times 11
Les facteurs premiers communs aux deux décompositions sont 2 et 7.
Le facteur 2 apparaît trois fois dans la décomposition de 280 et deux fois dans la décomposition de 308.
On peut donc dire que 22 divise les deux nombres 280 et 308.
Le plus grand diviseur commun à 280 et 308 est donc 2^2\times 7, soit 28.
Soient a et b deux entiers avec b\neq0.
Si d est le plus grand diviseur commun à a et b, alors \dfrac{a\div d}{b\div d} est la fraction irréductible égale à la fraction \dfrac{a}{b}.
On reprend l'exemple précédent.
Le plus grand diviseur commun à 280 et 308 est 2^2\times 7, soit 28.
La fraction irréductible égale à \dfrac{280}{308} est donc \dfrac{280\div 28}{308\div 28}, soit \dfrac{10}{11}.