Si les phénomènes d'évolution étudiés sont continus, on utilise des fonctions mathématiques pour les modéliser lorsque cela est possible. Dans ce cas, l'étude de la fonction est importante et la notion de nombre dérivé est essentiel à cette étude.
Ce chapitre a pour but d'utiliser la notion de nombre dérivé, de l'étendre à la notion de fonction dérivée et d'en voir des premières applications.
Fonction dérivée
Le nombre dérivé d'une fonction en un point est une notion extrêmement importante en mathématiques. La notion qui en découle naturellement est celle de fonction dérivée.
Définition
Lorsqu'une fonction f est dérivable sur tout intervalle où elle est définie, on peut alors introduire la fonction dérivée de f.
Fonction dérivée
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Si la fonction f est dérivable en tout réel a de l'intervalle I, elle est dite dérivable sur I.
La fonction qui à tout réel a de I associe le nombre dérivé f'(a) est appelée la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle I.
On la note f'.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2+1.
Soit a et h des réels tels que h\neq 0.
Alors le taux d'accroissement de f entre a et a+h est :
\tau_{a,a+h}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
\tau_{a,a+h}=\dfrac{(a+h)^2+1-a^2-1}{h}
\tau_{a,a+h}=\dfrac{a^2+2ah+h^2+1-a^2-1}{h}
\tau_{a,a+h}=\dfrac{2ah+h^2}{h}
\tau_{a,a+h}=2a+h car h\neq 0
Lorsque h tend vers 0, le taux d'accroissement \tau_{a,a+h} tend vers 2a.
Ainsi, la fonction f est dérivable en tout réel a et :
f'(a)=2a pour tout réel a.
La fonction définie sur \mathbb{R} par x\mapsto 2x est donc la fonction dérivée de f sur \mathbb{R}.
Dérivées des fonctions constante, identité, carré et cube
Pour éviter de déterminer une expression de la dérivée d'une fonction en revenant à la définition à chaque fois, il convient de connaître les fonctions dérivées de certaines fonctions.
Les fonctions constante sont dérivables sur \mathbb{R} et leur dérivée est la fonction nulle.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=7.
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
f'(x)=0.
La fonction identité est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée est la fonction définie sur \mathbb{R} par : \(x\mapsto 1).
Soit f la fonction identité, c'est-à-dire la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x.
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
f'(x)=1.
La fonction carrée est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée est la fonction définie sur \mathbb{R} par : x\mapsto 2x.
Soit f la fonction carrée.
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
f'(x)=2x.
La fonction cube est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée est la fonction définie sur \mathbb{R} par : x\mapsto 3x^2.
Soit f la fonction cube.
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
f'(x)=3x^2.
Dérivée et opérations
À partir des dérivées des fonctions de base, on peut en déduire de nouvelles en utilisant les opérations entre fonctions.
Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Alors la fonction f+g est dérivable sur I et sa dérivée est f'+g'.
Soit f la fonction carrée, g la fonction cube et h la fonction définie sur \mathbb{R} par h(x)=x^2+x^3.
On a donc :
- h=f+g
- f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a : f'(x)=2x
- g est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a : g'(x)=3x^2
Alors la fonction h est dérivable sur \mathbb{R} et h'=f'+g'.
Autrement dit, pour tout réel x, on a :
h'(x)=2x+3x^2.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R} et k un réel quelconque.
Alors la fonction g=k\times f est dérivable sur I et g'=k\times f'.
Soit f la fonction cube et g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=7x^3.
On a :
- la fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a : f'(x)=3x^2
- g=7\times f
Alors la fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et g'=7\times f'.
Autrement dit, pour tout réel x, on a :
g'(x)=7\times 3x^2
g'(x)=21x^2
Dérivées des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3
Grâce aux propriétés des deux parties précédentes, on obtient les dérivées des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3.
Soit a, b, c et d quatre réels quelconques.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
f'(x)=3ax^2+2bx+c.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=8x^3-7x+9.
La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
f'(x)=8\times 3x^2-7
f'(x)=24x^2-7.
Les fonctions définies sur \mathbb{R} et admettant une expression du type ax^3+bx^2+cx+d sont appelées fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3.
Application à l'étude du sens de variation d'une fonction
L'application la plus importante de la notion de fonction dérivée est peut-être celle de l'étude des variations des fonctions à partir du signe de la dérivée de la fonction.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Si f'(x)\geq 0 sur I, alors la fonction f est croissante sur I.
Soit f la fonction cube.
On sait que :
la fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x,
f'(x)=3x^2.
Or 3x^2\geq 0 pour tout réel x.
Donc f'(x)\geq 0 sur \mathbb{R}.
On retrouve le fait que la fonction cube est croissante sur \mathbb{R}.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Si f'(x)>0 sur I, alors la fonction f est strictement croissante sur I.
On reprend l'exemple de la fonction cube, notée f.
On sait que :
la fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x,
f'(x)=3x^2.
Or 3x^2>0 pour tout réel x\neq 0 et 3x^2=0\Leftrightarrow x=0.
Donc f'(x)>0 sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[.
La fonction cube est donc strictement croissante sur sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[.
Elle est donc strictement croissante sur \mathbb{R}.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Si f'(x)\leq 0 sur I, alors la fonction f est décroissante sur I.
Soit f la fonction définie sur I=[-10;-5] par f(x)=x^2.
C'est donc la restriction à l'intervalle [-10;-5] de la fonction carrée.
La fonction carrée étant dérivable sur \mathbb{R}, la fonction f est dérivable sur I.
De plus, pour tout réel x\in I, on a :
f'(x)=2x.
Or pour x\in [-10;-5], on a -10\leq x\leq -5,
donc -20\leq 2x\leq -10.
Par conséquent, f'(x)\leq 0 sur I.
La fonction f est donc décroissante sur I.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Si f'(x)<0 sur I, alors la fonction f est strictement décroissante sur I.
On reprend l'exemple de f, la fonction définie sur I=[-10;-5] par f(x)=x^2.
On a vu que, pour tout réel x\in I, on a :
f'(x)=2x.
Or pour x\in [-10;-5], on a -10\leq x\leq -5,
donc -20\leq 2x\leq -10.
Par conséquent, f'(x)<0 sur I.
La fonction f est donc strictement décroissante sur I.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}.
Lorsqu'elle est possible, l'étude du signe de f'(x) sur I permet d'obtenir le sens de variation de la fonction f sur I.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2+x-9.
Comme la fonction f est une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3, elle est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
f'(x)=2x+1.
Soit x\in\mathbb{R}. On a :
2x+1\geq 0\Leftrightarrow 2x\geq -1
2x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq \dfrac{-1}{2}
soit f'(x)\geq 0\Leftrightarrow x\geq \dfrac{-1}{2}
Par conséquent, on a f'(x)<0\Leftrightarrow x<\dfrac{-1}{2}.
Ainsi, la fonction f est :
- décroissante sur \left]-\infty;\dfrac{-1}{2}\right]
- croissante sur \left[\dfrac{-1}{2};+\infty\right[
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R} et a un réel de l'intervalle I.
Si la fonction dérivée f' s'annule en a en changeant de signe de part et d'autre du réel a, alors la fonction f admet un extremum (maximum ou minimum) local en a.
On reprend l'exemple précédent.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2+x-9.
On a :
- Pour tout réel x, on a : f'(x)=2x+1.
- f'(x)\geq 0\Leftrightarrow x\geq \dfrac{-1}{2}
- f'(x)<0\Leftrightarrow x<\dfrac{-1}{2}.
On peut ajouter le fait que f'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}.
Ainsi, la fonction f' s'annule en \dfrac{-1}{2} et change de signe de part et d'autre du réel \dfrac{-1}{2}.
La fonction f admet donc un extremum local en \dfrac{-1}{2}.
Comme la fonction f est décroissante sur \left]-\infty;\dfrac{-1}{2}\right] et croissante sur \left[\dfrac{-1}{2};+\infty\right[, elle admet un minimum local en \dfrac{-1}{2}.
Situations et problèmes liés
La notion de fonction dérivée étant très utile dans l'étude des variations des fonctions, elle a de nombreuses applications dans les domaines liés aux mathématiques.
Déterminer le minimum ou le maximum d'une fonction est très utile dans de nombreux domaine.
L'étude du signe de la dérivée peut alors s'avérer très utile.
Une brique de lait a une forme parallépipèdique de base carrée et son volume est 1 dm3.
En notant x la longueur d'un côté de la base en dm et h la hauteur de la brique en dm, on a donc en écrivant le volume en dm3 :
\mathcal{V}=x^2h=1
Par conséquent, h=\dfrac{1}{x^2}.
On cherche à minimiser la matière utilisée pour la fabrication de la brique.
On cherche à minimiser l'aire de la brique.
Le patron de la brique est constitué de deux carrés de longueur de côté x et quatre rectangle de dimensions x et h.
L'aire du patron de la brique est donc en dm2 :
\mathcal{A}=2x^2+4xh
Comme h=\dfrac{1}{x^2}, on obtient :
\mathcal{A}=2x^2+\dfrac{4}{x}
On peut donc définir une fonction f sur ]0;+\infty[ par f(x)=2x^2+\dfrac{4}{x} et chercher si elle admet un minimum sur ]0;+\infty[.
Un logiciel de calcul formel nous donne :
On en déduit :
- f'(x)>0 sur ]1;+\infty[
- f'(x)<0 sur ]0;1[
La fonction f est donc
- strictement décroissante sur ]0;1[
- strictement croissante sur ]1;+\infty[
Elle admet donc un minimum en 1.
Ainsi, l'aire du patron de la brique est la plus faible en choisissant x=1 dm.