On lâche verticalement une balle de masse m=0{,}13\text{ kg}, sans vitesse initiale, depuis une hauteur z=1{,}5\text{ m}. On considère que la balle est en chute libre. On cherche à déterminer la vitesse de la balle lorsqu'elle touche le sol.
Donnée : L'intensité de la pesanteur est g=9{,}8\text{ N/kg}.
Quelle est l'énergie cinétique E_{c, \text{ lâche}} de la balle lorsqu'elle est lâchée ?
L'énergie cinétique de la balle est donnée par la relation :
E_{\text{c (J)}} =\dfrac{1}{2} \times m_{\text{(kg)}} \times v_{\text{(m/s)}}^2
Ici, la vitesse initiale de la balle est nulle.
On a donc :
E_{c, \text{ lâche}}=0{,}0\text{ J}
L'énergie cinétique de la balle lorsqu'elle est lâchée est de 0,0 J.
Quelle est l'énergie potentielle de pesanteur de la balle lorsqu'elle est lâchée ?
L'énergie potentielle de pesanteur du système est donnée par la relation :
E_{pp \text{(J)}} = m_{\text{(kg)}} \times g_{\text{(N/kg)}} \times z_{\text{(m)}}
D'où l'application numérique :
E_{pp, \text{ lâche}}=0{,}13 \times 9{,}8 \times 1{,}5
E_{pp, \text{ lâche}}=1{,}9\text{ J}
L'énergie potentielle de pesanteur de la balle lorsqu'elle est lâchée est de 1,9 J.
Quelle est l'énergie mécanique E_{m, \text{ lâche}} de la balle lorsqu'elle est lâchée ?
L'énergie mécanique du système est donnée par la relation :
E_{m \text{(J)}} = E_{c \text{(J)}} + E_{pp \text{(J)}}
D'où l'application numérique :
E_{m, \text{ lâche}}=0{,}0 + 1{,}9
E_{m, \text{ lâche}}=1{,}9\text{ J}
L'énergie mécanique de la balle lorsqu'elle est lâchée est de 1,9 J.
Quelle est l'énergie potentielle de pesanteur E_{pp, \text{ sol}} de la balle lorsqu'elle touche le sol ?
L'énergie potentielle de pesanteur du système est donnée par la relation :
E_{pp \text{(J)}} = m_{\text{(kg)}} \times g_{\text{(N/kg)}} \times z_{\text{(m)}}
Ici, lorsque la balle touche le sol, on a :
z=0{,}0 \text{ m}
On déduit donc :
E_{pp, \text{ sol}}=0{,}0\text{ J}
L'énergie potentielle de pesanteur de la balle lorsqu'elle touche le sol est de 0,0 J.
Quelle est l'énergie cinétique E_{c, \text{ sol}} de la balle lorsqu'elle touche le sol ?
D'après la conversation de l'énergie mécanique, on a la relation :
Em_{\text{État final}} = Em_{\text{État initial}}
Ici, l'état initial correspond à l'instant où on lâche la balle et l'état final correspond à l'instant où la balle touche le sol :
E_{m, \text{ sol}}=E_{m, \text{ lâche}}
L'énergie mécanique du système est donnée par la relation :
E_{m \text{(J)}} = E_{c \text{(J)}} + E_{pp \text{(J)}}
D'où l'expression :
E_{c, \text{ sol}} + E_{pp, \text{ sol}} = E_{c,\text{ lâche}} + E_{pp,\text{ lâche}}
D'où l'expression pour l'énergie cinétique lorsque la balle touche le sol :
E_{c,\text{ sol}} = E_{c,\text{ lâche}} + E_{pp,\text{ lâche}} - E_{pp,\text{ sol}}
D'où l'application numérique :
E_{c, \text{ sol}} =0{,}0 + 1{,}9 - 0{,}0
E_{c, \text{ sol}}=1{,}9\text{ J}
L'énergie cinétique de la balle lorsqu'elle touche le sol est de 1,9 J.
Quelle est la vitesse de la balle lorsqu'elle touche le sol ?
L'énergie cinétique de la balle est donnée par la relation :
E_{\text{c (J)}} =\dfrac{1}{2} \times m_{\text{(kg)}} \times v_{\text{(m/s)}}^2
On peut donc exprimer la vitesse :
v^2=\dfrac{2 \times E_c}{m}
v=\sqrt{\dfrac{2 \times E_c}{m}}
D'où l'application numérique :
v=\sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}9}{0{,}13}}
v=5{,}4\text{ m/s}
La vitesse de la balle lorsqu'elle touche le sol est de 5,4 m/s.